蒙地卡羅情境翻倍，尾部風險就更真實嗎？12 檔 ETF 實測
做蒙地卡羅風險模擬時，結果一抖動，最順手的辦法往往是再多產生一倍情境。但多跑出來的 756 筆模擬觀測，究竟補進了什麼風險資訊？我想把「數字更穩定」和「風險結構更接近歷史」分開算清楚。
這次我使用 12 檔 ETF 的真實歷史價格、六種情境生成方法，以及 50 組配對亂數種子做對照。從 756 筆增加到 1,512 筆後，部分估計值的隨機波動的確縮小；但 Gaussian 生成情境的下跌共振率仍約 0.3180，固定訓練樣本的參照則是 0.4211。
「下跌共振」其實就是：SPY 大跌的日子，其他 ETF 有多少也同時大跌？ 我先用訓練期為每檔 ETF 固定各自最差 5% 的日報酬門檻，之後檢查生成情境時不重新訂門檻。
要評估情境生成器，我現在會分開問三件事：多抽一些是否更穩？同日共跌與接連幾天的風險是否保留下來？真正面對樣本外市場時，風險門檻是否校準？ 前兩問看固定歷史上的生成情境，第三問是另外一項範圍較窄的單日 VaR 檢驗，不能混成六個生成器的樣本外競賽。
12 檔 ETF 與固定的 756 日訓練期
資料來自 Boris Marjanovic 的 Huge Stock Market Dataset，來源標示 CC0，並說明價格已調整股利與分割。我挑的 12 檔 ETF 橫跨股票、公債、信用債、黃金、商品、美元與不動產；只看 SPY 自己的跌幅，無法看出跨資產一起下跌的問題。完整代碼列在文末。
我將 12 個原始檔裡的調整後 Close 依日期取交集，不替缺漏日期補值。這份 Kaggle 資料的 HYG 檔案從 2007-04-11 才有紀錄，所以共同樣本也是由這天起，到 2017-11-10 為止，共 2,668 個價格日。換成每日簡單報酬率後，12 檔 ETF 每日等權平均，組合定義從頭到尾不變。
情境實驗只用最初 756 個日報酬訓練，約三個交易年，包含 2008 年金融衝擊。固定同一段歷史，是要讓不同方法面對相同條件，不讓各自選有利的訓練窗口。Student-t 的自由度也固定為 5，不看了後面的樣本外結果才回頭調整。
| 方法 | 如何產生情境 |
|---|---|
| Gaussian | 使用訓練期均數及共變異數，產生多變量常態日報酬 |
| Student-t df=5 | 自由度固定為 5 的多變量 t 分布，並匹配訓練期共變異數 |
| IID Bootstrap | 對訓練期每日整列 ETF 報酬，獨立、有放回抽樣 |
| Moving-block 5 / 20 / 60 | 一次抽取連續 5、20 或 60 個交易日的報酬區塊 |
這裡先防一個會害對照失真的坑：如果兩次模擬換了亂數，觀察到的差異可能只是運氣。 所以我把種子固定在 1000–1049，共 50 組。每組先產生 1,512 筆，再取同一序列的前 756 筆作為小樣本。說白了，就是拿這 756 天的歷史反覆抽；模擬筆數增加，不會憑空多出真實行情。
Student-t 還有另一個陷阱：換上「厚尾」分布，若忘了匹配變異數，連波動度也會被一併放大。程式先用訓練共變異數的 Cholesky 因子產生相關常態向量，再乘上 √(3/χ²₅)（χ²₅ 為自由度 5 的卡方變數）。這等同於將多變量 t 的尺度矩陣設為訓練共變異數的 3/5；少了這步，生成共變異數會膨脹為原本的 5/3 倍。
情境翻倍，Monte Carlo 誤差縮小多少？
先看單日 ES(5%)，也就是落在最差 5% 尾端時的平均報酬。我對每個種子各算一次 ES，再比較 1,512 筆與 756 筆情境時，50 次 ES 結果的跨種子標準差。這量到的是抽樣波動，而不是對未來市場的預測準確率。
| 情境生成方法 | ES 跨種子標準差比：1,512 / 756 |
|---|---|
| Gaussian | 0.718 |
| Student-t df=5 | 0.671 |
| IID Bootstrap | 0.746 |
| Moving-block 5 | 0.768 |
| Moving-block 20 | 0.681 |
| Moving-block 60 | 0.734 |
六組比值都落在 0.671–0.768，小於 1。這 50 組配對結果的 ES 確實更集中。常見的 1/√2≈0.707 可當作抽樣波動減少的直覺，但 ES 是尾部統計量，不必精確照著它收斂。
共跌卻是另一回事：只挑 SPY 低於訓練期固定 5% 門檻的生成日，每天看其餘 11 檔有多少比例也低於各自固定門檻，最後對 SPY 觸發日取平均。Gaussian 相對訓練參照的共跌率誤差，從 N=756 時約 −0.1036 到 N=1,512 時約 −0.1031，幾乎沒變。
多抽一倍，讓模型輸出比較穩，卻不會自動補回它沒有生成的共同下跌場景。
IID Bootstrap 記得誰同一天跌，卻忘了大波動會不會接著來
單日共跌接近，不代表連續壞行情也像歷史。下面所有指標都建立在 12 檔 ETF 等權組合的日報酬序列上。絕對報酬的一階自相關 ACF(1) 粗略觀察大幅波動是否接連發生，60 日 ES 與最大回撤則觀察更長的風險路徑。
還要先防一個算式上的坑：連跌幾天，不能直接把每日百分比相加當成最後跌幅。 我沿生成序列逐日滑動，取連續 60 日，以 ∏(1+rₜ)-1 複利連乘計算窗口報酬；其中最差 5% 窗口的平均報酬就是 60 日 ES。每個窗口的最大回撤另在該窗口的複利淨值路徑上計算，再取所有窗口回撤的 5% 分位數。
下表是 N=1,512、50 個種子的生成指標平均值，與固定訓練期參照並列：
| 情境來源 | 下跌共振率 | 絕對報酬 ACF(1) | 60 日 ES(5%) | 60 日最大回撤 5% 分位 |
|---|---|---|---|---|
| 訓練樣本參照 | 0.4211 | 0.3000 | -21.01% | -25.45% |
| Gaussian | 0.3180 | -0.0011 | -15.77% | -16.53% |
| Student-t df=5 | 0.3549 | -0.0005 | -15.97% | -17.00% |
| IID Bootstrap | 0.4265 | 0.0059 | -15.15% | -16.26% |
| Block 5 | 0.4209 | 0.2408 | -14.45% | -15.75% |
| Block 20 | 0.4227 | 0.2842 | -16.54% | -18.56% |
| Block 60 | 0.4113 | 0.2684 | -17.49% | -20.48% |
不用每個數字都讀。IID Bootstrap 每次抽的是同一天整列 ETF 報酬，所以共跌率 0.4265 接近訓練參照 0.4211。可是不同日期之間獨立抽樣，ACF(1) 只剩 0.0059，而歷史參照是 0.3000。
也就是說，它還記得哪些資產可能同一天跌，卻幾乎忘了大波動會不會連續發生。
Block 20 的 ACF(1) 為 0.2842，已接近這段訓練歷史。Block 60 的 60 日 ES 從 IID 的 −15.15% 移向 −17.49%，但仍不及參照的 −21.01%。區塊也不是越長越好：Block 5 的 60 日 ES 甚至比 IID 更淺。
為何要用重疊窗口？如果強制不重疊，756 個訓練日只能切成約 12 段 60 日，1,512 個生成日也不過約 25 段。拿十來段獨立路徑估最差 5%，我不太相信它夠穩。改用逐日滑動，訓練側有 697 個窗口，生成側有 1,453 個；但彼此重疊，當然不能算成那麼多次獨立風險事件。訓練期又包含 2008 年，−21.01% 只是這份歷史的參照，不是必須精準命中的靶心。
Moving-block：區塊接縫與樣本邊緣權重是兩回事
看到 Block 的 ACF 上升，我一開始也想直接解釋：它保存了日期順序。回頭檢查抽樣器，才發現自己混在一起講了兩種機制。
第一種是區塊接縫。同一區塊內的日期原本相鄰，但換到下一塊時，可能突然跳到另一段歷史。塊長為 L 時，連續兩天跨過接縫的比例約為 1/L。在簡化的獨立拼塊近似下，一階自相關大致依 1−1/L 的量級衰減。把訓練 ACF 0.3000 代入，L=5 與 L=20 約為 0.240、0.285，和實測 0.2408、0.2842 接近。但 L=60 不符合這麼簡單的比例，這個算式只是機制直覺，不能當實驗結果。
第二種是歷史序列兩端被抽中的權重不同。普通非循環 Moving-block 的合法起點從 0 到 756−L；首尾日期出現機率比中間低，位置權重最大可差 L 倍。我另以允許首尾接續、起點均勻的 Circular Block，沿用 50 組種子補做對照，看看這個差異在本次資料究竟影響多少：
| 區塊長度 | ACF(1)：一般 / 循環 | 60 日 ES：一般 / 循環 |
|---|---|---|
| 5 | 0.2408 / 0.2411 | -14.45% / -14.35% |
| 20 | 0.2842 / 0.2884 | -16.54% / -16.37% |
| 60 | 0.2684 / 0.2792 | -17.49% / -17.23% |
變化不大。Block 20 的 ACF 只從 0.2842 到 0.2884，60 日 ES 從 −16.54% 到 −16.37%。邊界日期的抽樣權重確實不同，但它不足以解釋這份資料裡 Block 和 IID 的主要差距。而 Circular 會人為把歷史最後一天接到第一天，我也不會因為它修正了一個問題就宣稱它比較好。
這組追加對照，讓我不再把 Block 的所有效果都歸給「保留時間順序」一句話。方法背景可參考 Circular Block Resampling。
單日 VaR：三種方法在完整樣本外區間都未通過校準
現在改問另一道更窄的題：真實的下一個交易日到了，模型給的尾部門檻到底準不準？ 這不是替前面的六種生成器排樣本外名次，只比較歷史經驗分位數、Gaussian 與自由度固定為 5 的 Student-t 這三種單日 VaR 方法。每個目標日前，我都用前面最近 756 日的真實組合報酬重新估算門檻，而非一直沿用最初那個固定訓練窗口。
Student-t 的 5% 分位仍做訓練變異數匹配。所謂 VaR「突破」，就是隔天實際組合報酬跌穿模型估計的左尾 5% 門檻。滾動檢驗共有 1,911 個互不重疊的單日目標：
| 單日 95% VaR 方法 | 突破次數 | 突破率 | Kupiec p 值 | Christoffersen 獨立性 p 值 |
|---|---|---|---|---|
| 歷史經驗 | 52 | 2.72% | 6.16e-7 | 0.0145 |
| Gaussian | 51 | 2.67% | 3.16e-7 | 0.0122 |
| Student-t df=5 | 62 | 3.24% | 1.75e-4 | 0.0171 |
名目突破率若為 5%，1,911 日平均預期約 95.55 次突破，實際三法卻只有 51–62 次。突破比較少，不代表校準通過。 Kupiec 看突破頻率，Christoffersen 看突破是否獨立；兩組 p 值都偏小。
這個判斷只針對整段 1,911 日。滾動訓練窗口早期還包含 2008 年事件，往後逐步移出。依市場階段切開後會怎麼樣，我這次沒另做。三法相鄰兩次連續突破依序只有 5 / 5 / 6 次，閱讀獨立性檢驗時值得一起看。
至於 Block 60 的 60 日 ES，我沒有硬塞進同一張表。多日目標若逐日滑動，觀測會大量重疊，必須另行設計可解釋這些相依性的樣本外回測。我目前沒有完成一套滿意的口徑；把單日的 Kupiec/Christoffersen 檢驗直接搬過去反而誤導，所以這裡只報告單日 VaR。
另一個反直覺細節：Student-t 常被簡稱為「厚尾所以 VaR 更保守」，卻不能推到每個信賴水準。自由度 5、方差匹配時，標準化的左側 5% 分位約 −1.56085，反而比常態的 −1.64485 更接近零。單看分布名稱，不能替每個門檻判保守程度。
下一筆模擬算力，我會先花在哪裡？
下次再有人說「結果不夠穩，情境翻倍就好」，我不會馬上加算力。我會先問：不穩的是抽樣噪音嗎？我在意的同跌和連續虧損，生成器保留了多少？真正對應那個預測期限的樣本外校準做過嗎？ 多抽一倍，主要只回答第一題。
如果明天硬要在 Block 20、Block 60、Student-t 中選一個線上兜底，我也不會拿這份固定訓練期的表直接封冠。Block 20 的 ACF 接近這段歷史，不保證未來覆蓋率；Student-t 的厚尾也不保證 95% VaR 門檻更嚴。先選風險期限，再做對應的 OOS 檢驗，才有選型依據。
這次我最想記下來的是：Gaussian 的共跌差距沒有因情境翻倍而消失；補跑 Circular Block 後，我也必須收窄原本太順手的歸因。以後再看到「百萬筆風險情境」，我會追問：它重複的是哪段真實資訊，又保留了什麼風險結構？
若想先從小案例親手檢查尾部統計，我還寫過 vectorbt 裡 NaN 如何改變 CVaR 的尾端樣本分母，有可跟著算的 Python 合成範例。
資料來源與固定參數：Kaggle Huge Stock Market Dataset v3；SPY、IWM、EFA、EEM、TLT、IEF、LQD、HYG、GLD、DBC、UUP、VNQ。調整後收盤價的日期交集為 2007-04-11 至 2017-11-10，共 2,668 筆，沒有補缺漏日。固定 CSV SHA-256：0a20c095f0d9400fbf7d30e17a0c664716f147c460b03bf5439cd980ef8bf38a。情境實驗使用 756 日訓練報酬與 50 組配對種子；另有 1,911 日的單期 VaR 滾動檢驗。這是歷史風險建模方法對照，不是投資建議。